Research Group of Prof. Dr. M. Griebel
Institute for Numerical Simulation
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[1] T. Schiekofer. Die Methode der Finiten Differenzen auf dünnen Gittern zur Lösung elliptischer und parabolischer partieller Differentialgleichungen. Dissertation, Universität Bonn, 1999.
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Ziel der vorliegenden Arbeit ist es, mit der Methode der Finiten Differenzen auf dünnen Gittern ein Diskretisierungs-Verfahren bereitzustellen, das die Vorteile dünner Gitter ausnutzt, gleichzeitig aber einfach zu implementieren ist. Neben der notwenigen Konstruktion spezieller Finiter Differenzen Operatoren auf dünnen Gittern ist auch die theoretische und numerische Untersuchung von Konsistenz und Konvergenz Bestandteil dieser Arbeit. Dabei sind die theoretisch und numerisch zu erwartenden Konvergenzordnungen vergleichbar mit denen der Methode der Finiten Elemente auf dünnen Gittern. Es zeigt sich außerdem, daß die Konsistenzordnungen der Finiten Differenzen Operatoren identisch mit denen auf entsprechenden vollen Gittern sind. Zudem stellt sich heraus, daß etwa elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit hinreichend glatten Koeffizientenfunktionen ohne großen programmiertechnischen Aufwand realisiert werden können. Im Hinblick auf die anfangs genannten Problemstellungen werden neben Gebietszerlegungstechniken auch Transformationen von physikalischen Gebieten auf quaderförmige Rechengebiete betrachet. Durch die Kombination beider Vorgehensweisen ist man in der Lage, die Gebiete, die in realen Anwendungen von Interesse sind, auch mit Hilfe dünner Gitter handzuhaben. Zur schnellen und effizienten Lösung der resultierenden Gleichungssysteme wird eine einfache Vorkonditionierung für die Methode der Finiten Differenzen auf dünnen Gittern vorgestellt. Die Datenstruktur Hash-Tabelle ermöglicht in einer Implementierung einen Zugriff auf beliebige Daten in O(1) Operationen und bietet damit die Grundlage zur Generierung effizienten Programmcodes. Zudem ist durch diese Datenstruktur die Verwaltung adaptiver Gitter problemlos und einfach möglich. Neben den bereits angegebenen Gebietszerlegungstechniken, die auf natürliche Art und Weise ein paralleles Vorgehen ermöglichen, wird eine Parallelisierung basierend auf “Open MP” für SMP-Maschinen zur Verfügung gestellt. Damit steht mit der vorgestellten Methode der Finiten Differenzen auf dünnen Gittern eine Methode zur Verfügung, die es erlaubt, auf allgemeinen Gebieten parallele, vorkonditionierte Löser für vorgegebene Problemstellungen zu konstruieren. ...