Research Group of Prof. Dr. M. Griebel
Institute for Numerical Simulation
maximize
[1] R. Hiptmair, T. Schiekofer, and B. Wohlmuth. Multilevel preconditioned augmented Lagrangian techniques for 2nd order mixed problems. Computing, 57:25-48, 1996. also as Tech. report 328 Institut für Mathematik, Universität Augsburg.
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We are concerned with the efficient solution of saddle point problems arising from the mixed discretization of 2nd order elliptic problems in two dimensions. We consider the mixed discretization of the boundary value problem by means of lowest order Raviart-Thomas elements. This leads to a saddle point problem, which can be tackled by Uzawa-like iterative solvers. We suggest a prior modification of the saddle point problem according to the augmented Lagrangian approach (cf. [16]) in order to make it more amenable to the iterative procedure. In order to boost the speed of iterative methods, we additionally employ a multilevel preconditioner first presented by Vassilevski and Wang in [27]. It is based on a special splitting of the space of vector valued fluxes, which exploits the close relationship between piecewise linear continuous finite element functions and divergence free fluxes. We prove that this splitting gives rise to an optimal preconditioner: it achieves condition numbers bounded independently on the depth of refinement. The proof is set in the framework of Schwarz methods (cf. [29, 30]). It relies on established results about standard multilevel methods as well as a strengthened Cauchy-Schwarz inequality for RT0-spaces. Gegenstand der Arbeit ist die effiziente Lösung von Sattelpunktproblemen, wie sie bei der gemischten Diskretisierung elliptischer Randwertprobleme zweiter Ordnung in 2D entstehen. Wir betrachten die gemischte Diskretisierung der Randwertprobleme mit Hilfe von Raviart-Thomas Elementen niedrigster Ordnung. Man erhält ein Sattelpunktproblem, das sich durch vom Uzawa-Algorithmus abgeleitete iterative Verfahren lösen läßt. Wir schlagen vor, das Sattelpunktproblem zunächst mit Hilfe der Technik der Erweiterten Lagrangeschen Multiplikatoren zu modifizieren, um die iterative Lösung zu erleichtern. Um die Konvergenz der iterativen Verfahren zu beschleunigen, setzen wir einen Multilevel Vorkonditionierer ein, der zuerst von Vassilevski und Wang in [27] vorgeschlagen wurde. Er stützt sich auch eine spezielle Zerlegung des Raums der vektorwertigen Finite Elemente Ansatzfunktionen, die die enge Beziehung zwischen stückweise liearen, stetigen Finite Elemente Funktionen und divergenzfreien Flüssen ausnützt. Wir zeigen, daß diese Zerlegung auf einen optimalen Vorkonditionierer führt; er erzielt Konditionszahlen, die nicht von der Verfeinerungstiefe abhängen. Der Beweis folgt dem üblichen Vorgehen im Fall additiver Schwarz Methoden (vgl. [29, 30]). Er stützt sich auf wohlbekannte Tatsachen über Standard Multilevelverfahren sowie auf eine verschärfte Cauchy-Schwarzsche Ungleichung.